Божественные натуральные числа

[filin]

Преамбула. Среди математиков гуляет крылатая фраза "Бог создал натуральные числа, остальное - дело рук человека". На самом деле, если википедия и словарь немецкого нам не врут, то Кронекер сказал про целые, а не натуральные, и рук там тоже не было (что логично, остальную математику человек создал по большей части не руками).

Амбула. Предположим, что Бог действительно создал натуральные или целые числа. Из соображений божественности :) понятно, что все-таки натуральные, а не целые, отрицательное число отчетливо небожественно. Таки у меня к вам два вопроса.

1. Какую именно структуру создал Бог?

2. Ноль входит?

Понятно, что натуральные числа можно задавать разными способами. Понятно, что просто натуральный ряд, без операций, Бог не создавал, смысла нет. Понятно, что, скажем, вычитание и деление не входят (множество натуральных чисел относительно них не замкнуто). Очевидно, что и, скажем, факториал тоже придуман людьми. А какие операции божественны?

Я ставлю на: единицу (ноль не входит), следующее число (AKA +1), и... а вот что "и"? В основаниях математики тут используют рекурсию. Но рекурсия - понятие, мягко говоря, недетской сложности, его в школе до сих пор фактически не дают. Даже в вузах проходят построение целых чисел, рациональных, предела, действительных, производной, интеграла, и с легкостью доходят до гребеней математической статистики, рекурсию даже не упомянув. Между тем сложение детям, если объясняют, то объясняют по сути через примитивную рекурсию... Хотя нет, через итерацию. Через разворачивание числа в последовательность. Умножение тоже так вводят. "... и понятие последовательности"?

Comments

[slobin]

Рандомные мысли по поводу:

(1) "Бог создал натуральные числа, остальное -- дело рук человека" (якобы Кронекер), "Итерация свойственна человеку, рекурсия божественна" (якобы Дойч). Отметим разные модели: в первой Бог начинает, а дальше человек сам справляется, а во второй -- Бог продолжает с того места, где человек уже не справляется.

(2) Есть у меня богохульное подозрение, что ноль был ДО того, как Бог создал натуральные числа. Ну или, немножко поиграв словами, ноля НЕ БЫЛО до того, как он создал что-бы то ни было. "Не быть" -- определяющее свойство нуля.

(3) А чисто практически у меня на эту тему давно уже ориджин есть. Сейчас нагло руками подставлю, случайно он вряд ли выпадет. И вообще, хочу нормальный общесистемный (общескриптовый?) язык, где нумерация с единицы. Потому что задолбало писать не то, что думаешь! Смолтоллк и луа по разным причинам не годятся. Что-то вроде MATLAB, из которого выкинули большую часть математики и взамен добавили нормальные библиотеки в стиле питона. Может быть, Джулия в эту сторону разовьётся, посмотрим.

(4) Update: мне кажется, определяющим содержательным свойством "счёта" является то, что предметы можно считать в разном порядке, и ответ сойдётся. Нет, это не коммутативность сложения (сложение мы ещё не ввели), а что? И да, я неявно предроложил, что "натуральные числа" == "счёт".

... Натуральный ряд начинается с единицы ...

[vladimir000]

> Есть у меня богохульное подозрение, что ноль был ДО того, как Бог создал натуральные числа.

И был Бог единица, и было false нулем? :)))

[filin]

(1) Гм... Бог таки создал рекурсию, "естественную как дыхание", но понял, что человек не справляется, и пришлось вводить итерацию?

(2) Но как только Бог что-то создал, нуля не стало. И его пришлось создавать заново уже человеку. Потому что пропало абсолютно нулевое состояние "ничего нет". А для утилитарных целей пришлось вводить искусственно привнесенную размерность, не свойственную имманентно нулю. Теперь может быть ноль яблок (яблоки нас интересуют), но то же самое состояние соответствует и нулю крокодилов, а крокодилы нас не интересуют... А одно яблоко не может быть одновременно и одним крокодилом. Хотя, конечно, может быть одним фруктом, и еще много чем одним, но у одного яблока есть, гм, естественная (в смысле восприятия человеческой психикой) размерность. А у нуля яблок ее нет, ее приходится вводить искусственно, воображать, а не воспринимать.

(4) Да, натуральные числа идут от счета, и да, с определяющим свойством ты прав. Что, пожалуй, приводит нас к божественности сложения - именно в этой операции как сущности выражено это свойство.

[slobin]

А поскольку "естественная" размерность в глазах смотрящего (с одной стороны, яблоко, но не фрукт, а с другой -- дерево, но не яблоня), то от нуля яблок переходим к нулю антоновок, и далее к нулю яблок, на которых я вырезал сердечко в честь дня святого Валентина. Дальнейшая история здесь (ключевая фраза -- последняя в третьем абзаце). На всякий случай, если мы считаем по разному: "A list of no 2s differs from a list of no 3s!"

... Асимметричный дуализм языкового знака ...

[filin]

> А поскольку "естественная" размерность в глазах смотрящего

Тем не более, в ней есть некоторая корреляция, на которой основана возможность взаимодействия между особями. Как правило, интерпретация одного яблока как одной антоновки или одного фрукта - это уже искусственное действие, причем чаще твой собеседник воспримет ее как троллинг, чем как специфический подход к задаче. При том, что "яблоко" - это само по себе уже довольно сильная абстракция. Но - естественная.

Ты никогда не обращал внимания на байки того типа, что дети на начальной стадии обучения арифметике довольно хорошо складывают антоновки с грушевками, а вот яблоки с апельсинами - плохо? Они правы. Они еще не оторвались от жизни, а в жизни я не могу придумать неизвращенную задачу, в которой было бы все равно, что у тебя есть - 5 яблок или 2 яблока и 3 апельсина. Задачу, в которой не все равно, антоновка у тебя или грушевка, могу, но во всех, что придумываются, в принципе годятся обе, только если уделять внимание сорту, то результат будет лучше. Ну там, в шарлотку лучше антоновку, а в варенье грушевку.

А вот к нулю любая размерность искусственна.

А так да, в строго типизированном языке, типа хаскеля, даже без явного объявления типов нельзя объединить пустой список целых с пустым списком символов. Хотя обозначать их одной константой при этом можно :) Но глядя на одну эту константу саму по себе, ты не сможешь определить, пустой список чего это. Строго говоря, глядя на [1,2,3], ты тоже не сможешь сказать, [Int] это, [Double] или [Word8]. Но по крайней мере это будет список каких-то чисел, и числовые операции (тайпкласс Num) с ними будут давать ожидаемый результат. Ты можешь быть уверен, что foldr (+) 0 [1,2,3] тебе в любом случае выдаст 6, вне зависимости от контекста. А с [], не зная контекста, ты ничего сделать не можешь, кроме проверки на пустоту.

[slobin]

Да, перегрузка констант иногда поражает. Например, в Окамле вот такое типизируется:

Printf.printf "%s = %d\n" "magic" 42;;

Просто первая строчка в кавычках имеет тип не string, а, щас,

(string -> int -> unit, out_channel, unit) format

(мне пришлось немножко подумать, чтобы заставить интерпретатор это вывести). С монадами там не заморачиваются, с точки зрения ввода-вывода язык просто процедурный, но с типизацией там всё аккуратно. :-)

... На палатку падали чипы холода ...

[filin]

Если у него при этом форматная строка парсится компилятором и проверяется, что тип у нее действительно такой, то с его стороны это весьма любезно... Хотя по-хорошему, конечно, чтобы вывести, что там string -> int, а не text -> double, информации недостаточно. Впрочем, хаскель в подобной ситуации принудительно выберет String и Integer, глядя на константы.

Хаскельный Text.Printf.printf в этом смысле устроен хуже и кидается исключениями, если недодать параметров. Хотя форматная строка константная и можно было бы при компиляции проверить. И все наработки на эту тему, похоже в состоянии experimental...

[slobin]

C int и float в окамле тяжёлое историческое наследие -- они не полиморфны. Даже плавающие бинарные операции выглядят как +. -. *. /. Хотя в SML полиморфны (и стандарт не определяет точно, сколь широкий контекст должен посмотреть компилятор перед тем, как сдаться и признать его просто int'ом, а не float и не word). Но строки формата (ну то есть не строки), да, парсятся и проверяются. Начиная с какой-то версии их можно даже конкатенировать без потери этой проверки.

... Зачем мне ДВЕ шизофрении? ...