Божественные натуральные числа

[filin]

Преамбула. Среди математиков гуляет крылатая фраза "Бог создал натуральные числа, остальное - дело рук человека". На самом деле, если википедия и словарь немецкого нам не врут, то Кронекер сказал про целые, а не натуральные, и рук там тоже не было (что логично, остальную математику человек создал по большей части не руками).

Амбула. Предположим, что Бог действительно создал натуральные или целые числа. Из соображений божественности :) понятно, что все-таки натуральные, а не целые, отрицательное число отчетливо небожественно. Таки у меня к вам два вопроса.

1. Какую именно структуру создал Бог?

2. Ноль входит?

Понятно, что натуральные числа можно задавать разными способами. Понятно, что просто натуральный ряд, без операций, Бог не создавал, смысла нет. Понятно, что, скажем, вычитание и деление не входят (множество натуральных чисел относительно них не замкнуто). Очевидно, что и, скажем, факториал тоже придуман людьми. А какие операции божественны?

Я ставлю на: единицу (ноль не входит), следующее число (AKA +1), и... а вот что "и"? В основаниях математики тут используют рекурсию. Но рекурсия - понятие, мягко говоря, недетской сложности, его в школе до сих пор фактически не дают. Даже в вузах проходят построение целых чисел, рациональных, предела, действительных, производной, интеграла, и с легкостью доходят до гребеней математической статистики, рекурсию даже не упомянув. Между тем сложение детям, если объясняют, то объясняют по сути через примитивную рекурсию... Хотя нет, через итерацию. Через разворачивание числа в последовательность. Умножение тоже так вводят. "... и понятие последовательности"?

Comments

[vladimir000]

Да пофиг мне, что там Эру запретил:) Главное, что создаст он систему эквивалентную пеановской, а остальное - детали:)

[filin]

Дохтур, систему, эквивалентную пеановской, можно создать хмурой тучей различных способов, бесконечное множество из которых будут извращенными. Если я правильно помню, у самого Пеано, во-первых, сами числа, весь натуральный ряд, были данностью. Ему пофиг, у него аксиоматика, а не алгоритм. Я уверен, что в случае создания натурального ряда это не так, там как максимум 1 и 2, а скорее только 1. А остальные - строятся, и есть инструментарий для построения.

Кроме того, с одной стороны, я считаю, что у него изначально система более слабая, чем пеановская арифметика, ибо умножения нет. Не нужно. Пеановской нужно, без него нормального кодирования не построишь (хотя я не знаю, зачем Пеано ее строил, это у Геделя она используется для кодирования - но есть фрагменты только со сложением и только с умножением, и они действительно слабее полной, вплоть до чуть ли не линейной разрешимости). С другой стороны, зато в правилах развития нет ограничений, можно вводить новые операции и через них новые абстракции.

Так вот, мне, собственно, интересно, какие детали вложены в конструктор.